三十四、小组长(2/2)

江水源心中略作盘算。虽然反交换的矩阵不一定有公共的特征向量，但是a的半正定性使得只需要把问题限制在零特征值的特征子空间上讨论就行了，此时a、b的反交换性就变成了交换性。所以第一种方法就是利用不变子空间理论，将问题转化成几何的语言，就可以很容易证明结论。

刚刚写完，他又想到了另外一种方法，利用实对称阵的正交相似标准形理论，假设a是正交相似标准形来做。嗯，so_easy!

进度13/20!

江水源刚要翻到下一题，突然想到一种更巧妙的方法，即利用a^2、b可以同时正交对角化，再用到半正定矩阵算术平方根的唯一性来证明，这种方法不仅更自然，也更简单。

景鹏像是闲得无聊，整个上午都呆在自习室里，优哉游哉地翻看着江水源放在书架上的各种书籍。等到江水源做完第13题，马上伸手拿过答题纸认真看了起来。江水源吐槽道：“景老师，不是说好开卷么？怎么感觉像是以开卷之名，行闭卷之实呀？”

“我就是随便看看，碍着你翻书找资料了吗？”景鹏好整以暇地调整了个坐姿。

“倒不碍着我翻书找资料，可是影响我考试心情啊！”

“都考试了，还能有什么心情？赶紧做题吧！”景鹏安静了不到十秒钟，忍不住惊讶出声：“欸，这个解法好精巧，我都没想到过！”

江水源一听就知道他说的是哪里：“很巧妙吧？我也是突然来了灵感才想到的。”

景鹏赞许地点点头：“不错、不错。不过能想到这个方法，只能算是有点聪明；能把整张试卷按时做完，那才是真正把高等代数学好了。”

什么意思？看来后面的题目简单不了啊！

事实证明，景鹏不是虚言恫吓。江水源越往后做越觉得吃力，第15题刚开了个头，突然有只手伸到自己面前：“饭卡！”

“嗯？”江水源顺着手看过去，原来是那位相貌普通的低阶科研狗，景鹏不知道什么时候已经走了。

“午饭吃什么？”

“哦，已经是中午了？麻烦来一份石锅拌饭，一盒牛奶，谢谢。”

“好。”低阶科研狗突然脸上带着蜜汁微笑，神秘兮兮地问道，“在你们那个班，是不是班委什么的也是按颜值来排的？比如说，长得最帅、最漂亮的当班长，排第二的当学委啥的？”

“是啊，你怎么知道？当时我还是小组长呢！”

吃完某位八卦人士热心送来的午饭，江水源把战线继续缓慢往前推进。如果说上次数分考试非常考验人的耐心和脑筋急转弯的能力，那么这次高代考试显然更注重人的思维能力和对知识的创新运用。换个角度说，上次数分考试像知识竞赛，而这次高代考试像写小论文。

到了晚上九点多钟，终于顺利推进道最后一道压轴题，证明三个矩阵秩不等式中等号成立的充分必要条件。

众所周知，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要数值参数。在矩阵运算前后，矩阵的秩会具有什么样的关系，教材上一般都给出了三个重要的矩阵秩不等式，分别是：

rank（a+b）≤ranka+rankb；

rank（ab）≤min{ranka，rankb}；

rank（ab）≥ranka+rankb-n，其中n为矩阵a的列数。

在江水源见过的线性代数教材中，或是从初等变换、或是从向量组的秩的角度给出上述三个不等式的证明，但都没说清不等式在什么情况下等式成立。那么该如何证明上述三个矩阵秩不等式中等号成立的充要条件呢？